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Hipérbole

        Podemos chegar à equação canônica de uma hipérbole fazendo um desenvolvendo análogo ao feito para a elipse na subseção 4.2.

No entanto, usaremos a caracterização usual da hipérbole como sendo o lugar geométrico dos pontos P de um plano cujo módulo da diferença das distâncias a dois pontos fixos, do mesmo plano, é constante e igual a 2c (ver Proposição 3.7)

MATH    

para obter sua equação.

Assim como a elipse a hipérbole é uma cônica de dois focos e duas diretrizes.

Fazendo  MATH , ou seja,  $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ e procedendo como no caso da elipse (ver subseção 4.2.1), obtemos a equação reduzida da hipérbole com focos sobre o eixo x

MATH (6)

A hipérbole representativa dessa equação tem interseções com o eixo x nos pontos   $A_{1}(-a,0)$ e $A_{2}(a,0)$ e sua interseção com o eixo y é vazia. Ela é uma curva simétrica em relação a ambos os eixos e resolvendo a equação em relação x obtemos

MATH    

Portanto, a hipérbole não entra na região vertical entre as retas $x=-a$ e $x=a$ . As retas MATH e MATH são assíntotas da hipérbole.

Observação 4.3   Quando os focos de uma hipérbole estão sobre o eixo y, a sua equação reduzida é da forma
MATH    

E, neste caso, as assíntotas são as retas MATH e MATH .

Em uma hipérbole arbitrária temos os seguintes elementos:

Observe que $c>a$ e, portanto, a excentricidade de uma hipérbole é $e=\frac{c}{a}>1$ . Usando as igualdade MATH e MATH para os raios focais de uma hipérbole, concluímos que ela é uma cônica com duas diretrizes paralelas ao eixo conjugado e simétricas em relação ao centro. Por exemplo, considerando o foco $F_{1}(-c,0)$ temos a reta MATH como diretriz associada..

\includegraphics[
height=1.7582in,
width=1.5264in
]{Hiperbole04.eps}


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Jocelino Sato 2005-03-28