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Fórmula de redução e classificação de uma cônica

        Observamos que se a equação geral de uma cônica decompõe-se no produto de dois fatores lineares, então a equação representa uma cônica degenerada, ou seja, um ponto ou uma reta ou ainda um par de retas concorrentes. Da igualdade

MATH    
podemos escrever
MATH    
Logo, concluímos que a cônica é degenerada se
MATH (8)
possui raízes reais duplas (discriminante nulo). Para isso devemos ter:
MATH   

Se este for o caso, então podemos escrever
MATH    
sendo $y_{0}$ a raiz dupla do trinômio (8) e, resolvendo a equação em relação a uma das variáveis obtemos as equações das "retas". Por exemplo, se $A\neq 0$ podemos escrever
MATH    
A expressão
MATH    
é chamada discriminante da equação de uma cônica. Admitindo-se $C\neq 0$ e procedendo como acima resulta na mesma expressão para o discriminante.

Quando  $\Delta \neq 0$ a equação representa uma cônica não degenerada; adotando um sistema de eixos coordenados adequado podemos reduzir sua equação cartesiana à forma reduzida e, conseqüentemente, classificá-la.

Para isso, fazemos primeiro uma mudança de coordenadas dada por uma rotação de eixos com o objetivo de eliminar o termo cruzado xy na equação cartesiana geral (7).

\includegraphics[height=2.2226in, width=3.4549in]{Rotacao_de_Eixos.eps}

As fórmulas de rotação que estabelecem as relações entre as coordenadas $(x,y)$ de um ponto $P$ , em relação ao sistema $xy$ , com suas coordenadas MATH em relação ao sistema $\tilde{x}\tilde{y}$ são:
MATH    
Aplicando as fórmulas (-) à equação geral de uma cônica obtemos sua equação em relação ao sistema de eixos MATH
MATH    
com
MATH
Essas igualdades fornecem as seguintes relações entre os coeficientes das duas equações:

MATH

Isso mostra que as expressões MATH e MATH , bem como o termo independente $\tilde{F}=F$ , são invariantes por rotação de eixos.

A expressão

MATH

é chamado indicador da equação da cônica.

A fim de simplificar a equação de uma cônica, eliminando o termo $\tilde{x}\tilde{y}$ , devemos realizar uma rotação de um ângulo $\theta $ de modo que $\tilde{B}=0$ . Isso corresponde a uma cônica com eixo focal paralelo ao eixo $\tilde{x}$ . Neste caso, devemos ter

MATH
Usando a igualdade

MATH

concluímos que a equação MATH possui duas soluções distintas, raízes da equação

MATH
Ou seja,
MATH
Nas aplicações sempre usamos a solução $\theta $ com MATH e, após a rotação de eixos dada por esse ângulo, a equação da cônica toma a forma
MATH (10)
Agora, consideremos uma mudança de coordenadas dadas por uma translação de eixos. As fórmulas de translação que estabelecem as relações entre as coordenadas  MATH de um ponto P, em relação ao sistema  $\tilde{x}\tilde{y}$ , com suas coordenadas  $(\bar{x},\bar{y})$ em relação ao sistema  $\bar{x}\bar{y}$ são simplesmente,

MATH

em que  $(x_{0},y_{0})$ são as coordenadas, no sistema  $\tilde{x}\tilde{y}$ , do ponto $\bar{O}$ origem do sistema  $\bar{x}\bar{y}$ . Aplicando essas relações à equação
MATH (11)
de uma cônica obtemos sua equação cartesiana em relação ao sistema  $\bar{x}\bar{y}$

MATH (12)

com
MATH

Logo, concluímos que os coeficientes $\tilde{A}$ , $\tilde{B}$ e $\tilde{C}$ dos  termos de segundo grau na equação das cônicas (11) são invariantes por translação de eixos. Portanto, também são as expressões

MATH    
Para que na equação (12) não haja termos do primeiro grau ( $\bar{D}\bar{x}$ e $\bar{E}\bar{y}$ ) devemos ter

MATH (13)
Esse sistema será possível e determinado se o indicador da cônica  MATH for não nulo. Se esse for o caso, os valores de $(x_{0},y_{0})$ da solução desse sistema fornecem uma translação que elimina os termos de primeiro grau na equação. Neste caso, a equação da cônica em relação ao sistema de eixos cartesianos $\bar{x}\bar{y} $ toma a forma

MATH (14)
Quando $\tilde{B}=0$ a equação (14) fornece imediatamente as equações reduzidas das cônicas. O desenvolvimento acima, além de permitir reduzir a equação de uma cônica à sua forma reduzida, em relação a um sistema de eixos adequado, também fornece a seguinte classificação:

Teorema 4.1   Uma vez determinados os valores do discriminante  MATH e do indicador  MATH tem-se:
a) Se $\Delta =0$ a equação  MATH   representa uma cônica degenerada;
b)  Se  $\Delta \neq 0$ a equação  MATH representa uma cônica suave, que após uma rotação por um ângulo
MATH    

seguida de uma translação de eixos é representada por uma equação da forma  $Ax^{2}+Cy^{2}+F=0$ , com  $I=B-4AC=-4AC$ . Logo,
i)  Se I < 0 temos que A e C possuem sinais iguais, e trata-se de uma cônica do gênero elipse;
ii)  Se I > 0  temos que A e C possuem sinais contrários, e trata-se de uma cônica do gênero hipérbole;
iii)  Se I = 0 temos que A = 0  ou C = 0, e trata-se de uma cônica do gênero parábola.


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Jocelino Sato 2005-03-28