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Semelhanças

Definição 1   Uma transformação $ \mathcal{T}$: $ \Pi\rightarrow\Pi$ é uma semelhança de razão $ r$ se para todo par de pontos $ X$,$ Y$ em $ \Pi$ o comprimento do segmento ligando $ X^{\prime}=\mathcal{T}(X)$ e $ Y^{\prime
}=\mathcal{T}(Y)$ é igual a $ r$ vezes o comprimento do segmento ligando $ X$ a $ Y$. Os pontos $ X^{\prime}$ e $ Y^{\prime}$ são denominados homólogos.

Dizemos que $ F$ e $ F^{\prime}$ são duas figuras semelhantes, com razão de semelhança $ r$, quando existe uma semelhança entre os pontos de $ F$ e os pontos de $ F^{\prime}$. Ou seja, se $ X$, $ Y$ são pontos quaisquer de $ F$ e $ X^{\prime}=\mathcal{T}\left( X\right) $, $ Y^{\prime}=\mathcal{T}%
\left( Y\right) $ são seus correspondentes em $ F^{\prime}$, então

$\displaystyle X^{\prime}Y^{\prime}=r.XY
$

A noção de semelhança corresponde à idéia natural de "mudança de escala", isto é, ampliação (razão $ r>1$) ou redução (razão $ r<1$) de uma figura alterando seu tamanho sem modificar suas proporções (Figura 4).
Figura 4:
\includegraphics[
height=1.471in,
width=2.6351in
]{Figuras/Fig-Semelhanca01.eps}
O conjunto de todas as semelhanças no plano munido da operação de composição de aplicações tem uma estrutura de grupo. Precisamente temos:

  1. a composta de semelhanças de razões $ r$ e $ r^{\prime}$ é, ainda, uma semelhança e sua razão é igual a $ r.r^{\prime}$;

  2. vale a associatividade para a operação de composição;

  3. a função identidade é uma semelhança de razão $ 1$ (Elemento neutro);

  4. a inversa de uma semelhança de razão $ r$ é uma semelhança de razão $ \frac{1}{r}$ (Elemento inverso).

Definição 2   Uma semelhança de razão $ 1$ é chamada de isometria. Podemos dizer que a isometria é uma correspondência biunívoca tal que, para quaisquer pontos $ X$,$ Y$ em $ F$, a distância de $ X^{\prime}=\mathcal{T}%
\left( X\right) $ a $ Y^{\prime}=\mathcal{T}\left( Y\right) $ é igual à distância de $ X$ a $ Y$. Quando existe uma isometria entre duas figuras, dizemos que estas figuras são congruentes.

A seguir apresentamos alguns exemplos de semelhança.

Exemplo 2.1   Seja $ \overline {AB}$ um segmento orientado no plano (orientado significa que a ordem em que os extremos são citados é relevante: primeiro $ A$ e depois $ B$). A translação determinada por $ \overline {AB}$ é a transformação $ T_{\overline{AB}}:\Pi\rightarrow\Pi$ , definida por $ T_{\overline{AB}}(X)=X^{\prime}$, de modo que $ \left( \overline
{AB},\overline{XX^{\prime}}\right) $ e $ \left( \overline{AX},\overline
{BX^{\prime}}\right) $ sejam pares de lados opostos de um paralelogramo. Toda translação é uma isometria.
Figura 5:
\includegraphics[
height=1.5939in,
width=2.1888in
]{Figuras/Fig-Translacao.eps}

Demonstração. Para provar isso observamos que um quadrilátero é um paralelogramo se, e somente se, possui dois lados paralelos e congruentes. Sejam $ \overline {AB}$ um segmento orientado no plano e $ X$ um ponto arbitrário do plano $ \Pi$. Seja $ X^{\prime}=T_{\overline{AB}}(X)$, da definição temos que $ \square ABXX^{\prime}$ é paralelogramo (Figura 5). Logo, $ \overline {AB}$ e $ \overline{XX^{\prime}}$ são lados paralelos com $ AB=XX^{\prime}$. Analogamente, se $ Z$ for outro ponto e $ Z^{\prime
}=T_{\overline{AB}}(Z)$, então $ \overline {AB}$ e $ \overline{ZZ^{\prime}}$ são lados paralelos com $ AB=ZZ^{\prime}$. Logo, $ \overline{XX^{\prime}}$ e $ \overline{ZZ^{\prime}}$ são paralelos com $ XX^{\prime}=ZZ^{\prime}$e, portanto, $ \square XX^{\prime}Z^{\prime}Z$ é um paralelogramo. O Recíproco do Teorema dos Ângulos Alternos Internos e o critério $ ALA$ de congruência entre triângulos, diz que os triângulos $ \triangle ZZ^{\prime}X^{\prime}\cong\triangle X^{\prime}XZ$ são congruentes Daí conclui-se que $ X^{\prime}Z^{\prime}=XZ$ , como queríamos demonstrar. $ \qedsymbol$

Exemplo 2.2   Seja $ l$ uma reta do plano $ \Pi$. A reflexão em torno do eixo $ l$ é a transformação $ R_{l}:\Pi\rightarrow\Pi$, que associa a cada ponto $ X$ do plano o ponto $ X^{\prime}=R_{l}\left( X\right) $ tal que $ l$ seja a mediatriz do segmento $ XX^{\prime}$. Toda reflexão é uma isometria.
Figura 6:
\includegraphics[
height=1.5506in,
width=3.2154in
]{Figuras/Fig-Reflexao.eps}

Demonstração. Dados os pontos $ X$ e $ Y$ em $ \Pi$ devemos mostrar que $ X^{\prime}Y^{\prime
}=XY$. Se um dos pontos $ X$ ou $ Y$ está sobre $ l$, então a igualdade é imediata. Agora, se $ X$ e $ Y$ estão do mesmo lado em relação à reta $ l$, então $ l$ é a mediatriz dos segmentos $ XX^{\prime}$ e $ YY^{\prime}$ (Figura 6). Daí temos a congruência dos triângulos $ XBY$ e $ X^{\prime}BY^{\prime}$, pelo mesmo caso $ LAL$, onde $ B$ é o ponto médio do segmento $ YY^{\prime}$. Portanto, neste caso, $ X^{\prime}Y^{\prime
}=XY$. Finalmente, admita que $ X$ e $ Y$ estejam em lados opostos em relação à reta $ l$. Sejam $ A$ e $ B$ os pontos médios dos segmentos $ XX^{\prime}$ e $ YY^{\prime}$, respectivamente. O triângulo $ \triangle XBX^{\prime}$ é isósceles e permite concluir que os triângulos $ \triangle YBX$ e o $ \triangle Y^{\prime}BX^{\prime}$ são congruentes pelo caso $ LAL$. Logo, $ X^{\prime}Y^{\prime
}=XY$. $ \qedsymbol$

Exemplo 2.3   A simetria em torno de um ponto $ O$ é a transformação $ S_{O}%
:\Pi\rightarrow\Pi$ que faz corresponder a cada ponto $ X$ do plano o ponto $ S_{O}(X)=X^{\prime}$ tal que $ O$ seja o ponto médio do segmento $ XX^{\prime}$. Toda simetria em torno de um ponto é uma isometria.
Figura 7:
\includegraphics[
height=1.0966in,
width=2.847in
]{Figuras/Fig-Simetria.eps}

Demonstração. De fato, dados os pontos $ X$ e $ Y$ em $ \Pi$, se $ X$ ou $ Y$ coincidir com $ O$ não há nada a fazer. Se ambos são distintos de $ O$ ligando os pontos $ X$, $ Y^{\prime}$, $ X^{\prime}$ e $ Y$, formamos um quadrilátero, onde suas diagonais se cortam ao meio no ponto $ O$. Isso diz que $ \square
XY^{\prime}X^{\prime}Y$ é paralelogramo (Figura 7). Logo, da caracterização de um paralelogramo temos que $ X^{\prime}Y^{\prime
}=XY$. $ \qedsymbol$

Exemplo 2.4   Consideremos um ângulo orientado $ \measuredangle BAC$. Orientado significa que a ordem em que os lados são citados é relevante: primeiro $ \overrightarrow{AB}$, e depois $ \overrightarrow{AC}$. O lado $ \overrightarrow{AB}$ é chamado lado inicial e o lado $ \overrightarrow{AC}$ lado final do ângulo orientado $ \measuredangle BAC$. A rotação de centro $ O$ e ângulo (orientado) $ \theta=\measuredangle BAC$ é a transformação $ R_{O,\theta}:\Pi\rightarrow\Pi$ com $ R_{O,\theta}(O)=O$ e para todo $ X\neq O$, $ X^{\prime}=R_{O,\theta}\left( X\right) $ é o ponto do lado $ \overrightarrow{OY}$ do ângulo orientado $ \measuredangle
XOY=\theta$, com $ OX=OY$ e $ m\measuredangle XOY=\theta$. Para $ \theta
=180^{\circ}$ a rotação $ R_{O,\theta }$ é a simetria em relação ao ponto $ O$.
Figura 8:
\includegraphics[
height=1.9095in,
width=2.0254in
]{Figuras/Fig-Rotacao.eps}

Demonstração. Vamos mostrar que toda rotação é a composta, de infinitas maneiras, de duas reflexões e, portanto, toda rotação é uma isometria (Figura 8). De fato, seja $ R_{l}:\Pi\rightarrow\Pi$ uma reflexão em relação a uma reta $ l=\overleftrightarrow{OP}$, onde $ P$ é um ponto distinto do centro de rotação $ O.$ Se $ A=R_{l}\left( X\right) $, então $ l$ é a "bissetriz " do ângulo $ \angle XOA$. Seja $ m$ a bissetriz do $ \angle AOX^{\prime}$. Temos $ X^{\prime}=R_{m}\left( A\right) $ e, assim, $ X^{\prime}=R_{m}\circ
R_{l}\left( X\right) $. $ \qedsymbol$

Exemplo 2.5   Sejam $ O$ um ponto do plano e $ r$ um número real positivo. A homotetia de centro $ O$ e razão $ r$ é a transformação $ H_{O,r}%
:\Pi\rightarrow\Pi$ definida do seguinte modo: $ H_{O,r}(O)=O$ e, para todo ponto $ X$ distinto de $ O$, $ X^{\prime}=H_{O,r}(X)$ é o ponto da semi-reta $ \overrightarrow{OX}$ tal que $ OX^{\prime}=r.OX$. Toda homotetia é uma semelhança e a inversa de uma homotetia de razão $ r$ é uma homotetia de mesmo centro e razão $ \frac{1}{r}$.
Figura 9:
\includegraphics[
height=1.6933in,
width=2.5668in
]{Figuras/Fig-Homotetia.eps}

Demonstração. Primeiro observamos que a imagem homotética de um segmento é ainda um segmento. Quando o ponto $ X$ está entre os pontos $ O$ e $ Y$ ( $ O\ast X\ast
Y$) é claro que $ O$, $ X^{\prime}$ e $ Y^{\prime}$ são colineares e

$\displaystyle X^{\prime}Y^{\prime}=OY^{\prime}-OX^{\prime}=r.\left[ OY-OX\right] =r.XY.
$

Agora, se $ O$, $ X$ e $ Y$ são não colineares consideremos os triângulos $ \triangle XOY$ e $ \triangle X^{\prime}OY^{\prime}$ (Figura 9). Temos $ OX^{\prime}=r.OX$ e $ OY^{\prime}=r.OY$. Logo, segue do critério $ LAL$ de semelhança que os triângulos $ \triangle XOY$ e $ \triangle X^{\prime}OY^{\prime}$ são semelhantes com razão de semelhança $ r.$ Portanto, $ \overline{XY}$ e $ \overline{X^{\prime}%
Y^{\prime}}$ são paralelos com $ X^{\prime}Y^{\prime}=rXY$. $ \qedsymbol$

Teorema 2.1   Uma semelhança $ T:\Pi\rightarrow\Pi$ possui as seguintes propriedades:

a)
A semelhança $ \mathcal{T}$ transforma pontos colineares em pontos colineares. Mais, precisamente, se $ A\ast P\ast C$, então $ P^{\prime}=\mathcal{T}\left( P\right) $ está entre $ A=\mathcal{T}%
\left( A\right) $ e $ B=\mathcal{T}\left( B\right) $. Logo, a imagem de uma reta por $ \mathcal{T}$ é uma reta e a imagem de um ângulo por $ \mathcal{T}$ é ainda um ângulo;

b)
A semelhança $ \mathcal{T}$ preserva medida de ângulo, ou seja, para todo ângulo $ \angle CAB$ temos $ m\mathcal{T}\left( \angle
CAB\right) =m\angle CAB$. Em particular, $ \mathcal{T}$ preserva perpendicularismo;

c)
A semelhança $ \mathcal{T}$ preserva paralelismo de retas, isto é, se $ r$ e $ s$ são retas paralelas, então $ l=\mathcal{T}\left(
r\right) $ e $ m=\mathcal{T}\left( s\right) $ são retas paralelas.

Demonstração.
a)
Dados os pontos $ A$ e $ B$ em $ \Pi$ sejam $ A^{\prime}=\mathcal{T}%
\left( A\right) $ e $ B^{\prime}=\mathcal{T}\left( B\right) $ seus respectivos homólogos. Temos $ A^{\prime}B^{\prime}=r.AB$, onde $ r$ é a razão de semelhança de $ \mathcal{T}$. Se $ P$ está entre $ A$ e $ B$, então $ AP+PB=AB$ e, assim, para $ P^{\prime}=\mathcal{T}\left( P\right) $ temos

$\displaystyle A^{\prime}P^{\prime}+P^{\prime}B^{\prime}=r.AP+rPB=r\left[ AP+PB\right]
=rAB=A^{\prime}B^{\prime}.
$

Isso mostra que $ P^{\prime}$ pertence ao segmento $ A^{\prime}B^{\prime}$.

b)
Seja $ \theta=\angle CAB$ um ângulo é $ \theta^{\prime
}=\mathcal{T}\left( \angle CAB\right) $. Segue do item a) que $ \theta
^{\prime}$ é um ângulo. Sejam $ P$ e $ Q$ pontos nos lados $ \overrightarrow{AB}$ e $ \overrightarrow{AC}$, respectivamente, do ângulo $ \angle CAB$, com $ AP=AQ$. É claro que, se $ P^{\prime}$ e $ Q^{\prime}$ são os homólogos de $ P$ e $ Q$, então

$\displaystyle A^{\prime}P^{\prime}=r.AP=rAQ=A^{\prime}Q^{\prime}.
$

Além disso, da definição temos $ P^{\prime}Q^{\prime}=rPQ$. Segue do critério $ LLL$ que os triângulos $ \triangle APQ$ e $ \triangle
A^{\prime}P^{\prime}Q^{\prime}$ são semelhantes. Portanto, $ \angle
Q^{\prime}A^{\prime}P^{\prime}\cong\angle QAP\cong\angle CAB$.

c)
Suponha, por absurdo, que $ l=\mathcal{T}\left(
r\right) $ e $ m=\mathcal{T}\left( s\right) $ sejam retas concorrentes em $ \mathcal{T}%$P^{\prime}=\mathcal{T}\left( P\right)$
\left( A\right) =P=\mathcal{T}\left( B\right) $, com $ A$ e $ B$ em $ r$ e $ s$, respectivamente. Então tomando a inversa de $ \mathcal{T}$ temos $ A=\mathcal{T}^{-1}\left( P\right) =B$, o que contradiz $ r$ e $ s$ serem paralelas. Portanto, $ l$ e $ m$ são paralelas.

E, assim, obtemos o Teorema. $ \qedsymbol$

Corolário 2.1   Uma semelhança transforma:

a)
paralelogramo em paralelogramo;

b)
retângulos em retângulos;

c)
um triângulo num triângulo semelhante;

d)
um círculo num outro círculo.


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Jocelino Sato 2006-11-08