Cones

I - Superfícies cônicas.

       Uma superfície cônica (cone generalizado) C é uma superfície gerada por uma reta r que se move ao longo de uma curva alpha  e que passa por um ponto fixo V  fora da curva. A reta móvel é chamada de geratriz , a curva denominada de diretriz  e o ponto fixo de vértice  do cone. Portanto, um cone é a reunião de retas passando por pontos de uma curva alpha  e por um ponto fixo V fora da curva alpha . O vértice separa cone em duas partes opostas pelo vértice, denominadas folhas e, usualmente, apresentamos apenas uma das folhas.Se a diretriz é um círculo, uma parábola, uma elipse ou uma hipérbole, então a superfície será, respectivamente, uma superfície cônica: circular, parabólica, elíptica ou hiperbólica.

Exemplo: Cone sobre um círculo

O cone circular reto de equação cartesiana x^2+y^2 = z^2  tem vértice na origem O(0,0,0) e, o círculo de equações reduzidas x^2+y^2 = 1  , z = 1  é uma de suas diretrizes.

[Maple Plot]

Veja alguns exemplos nos links abaixo.

Exemplo 1

Exemplo 2

II - Equação cartesiana de um cone .

          A maneira de encontrar a equação cartesiana de um cone generalizado é parecida com a que foi usada no caso do cilindro. Elas dependem da maneira como a geratriz é fornecida (equação simétrica ou vetorial) e, também, da maneira como a diretriz é dada (por suas equações reduzidas ou uma parametrização).

A)   Diretriz d descrita por suas equações reduzidas.

        Seja V = (x[0], y[0], z[0])  o vértice do cone e consideremos  o caso em que a diretriz é dada por suas equações reduzidas, ou seja, como a interseção de duas superfícies S[1]  e . S[2]  

Toda geratriz do cone  (reta) é dada na forma simétrica

(I)                     g : (x-x[0])/(X-x[0])  = (y-y[0])/(Y-y[0])  = (z-z[0])/(Z-z[0]) ,

em que Q(X,Y,Z)  é um ponto da diretriz, ou seja, suas coordenadas X, Y e Z satisafazem as equações

(II)                        S[1] : F[1](x,y,z) = 0 ,

(III)                       S[2]  : F[2](x,y,z) = 0 ,

A geratriz também pode ser dada na forma vetorial

(IV)                        g:  ( x, y, z ) = Q+t*W = (X+at,Y+bt,Z+ct) .

em que W = (X-x[0], Y-y[0], Z-z[0]) .

[Maple Plot]

Um ponto P(x,y,z)  é um ponto do cone se, e somente se, P  é um ponto de alguma geratriz do cilindro. Ou seja, se e somente se suas coordenadas satisfazem simultaneamente as equações em (I), com as coordenadas de Q satisfazendo as equações (II) e (III). Isolando os valores de X, Y, e Z em três dessas equações e substituindo na quarta equação obtemos uma igualdade, envolvendo as variáveis espaciais x, y, z, que define a equação cartesiana do cone de diretriz d e vértice V . Uma outra maneira de proceder é usar as equações paramétricas abaixo, dadas pela igualdade (IV),

                           x = x[0]+t*(X-x[0])

                           y = y[0]+t*(Y-y[0])

                           z = z[0]+t*(Z-z[0])

isolar os valores de X, Y e Z substituindo-os nas igualdades (II) e (III). Eliminando (se possível) o parâmetro t nessas equações obtemos uma igualdade, envolvendo as variáveis espaciais x, y, z, que também define a equação cartesiana do cone de diretriz d e vértice V.

Veja alguns exemplos nos links abaixo.

Exemplo 3

Exemplo 4

B)   A diretriz d descrita por sua parametrização.

         Sejam   alpha(u) = (x(u), y(u), z(u))  uma parametrização da diretriz e V = (x[0], y[0], z[0])  o vértice do cone. Neste caso, um ponto Q(X,Y,Z)  é um ponto da diretriz do cone se suas coordenadas X , Y  e Z  são da forma:

(V)                       X = x(u) , Y = y(u)  e Z = z(u) ,

para algum valor do parâmetro u.

E toda geratriz g do cone (reta) é dada na forma simétrica por

(VI)                      g: (x-x[0])/(x(u)-x[0])  = (y-y[0])/(y(u)-y[0])  = (z-z[0])/(z(u)-z[0]) ,

em que Q(X,Y,Z) = alpha(u)  é um ponto da diretriz e W = (x(u)-x[0], y(u)-y[0], z(u)-z[0])  é o vetor diretor da geratriz que passa por alpha(u) .

Um ponto P(x,y,z)  é um ponto do cone se, e somente se, P é um ponto de alguma geratriz do cone. Ou seja, se e somente se suas coordenadas satisfazem (VI) para algum valor do parâmetro u. Portanto, a substituição das igualdades   X = x(u) , Y = y(u)  e Z = z(u)  em (IV) fornece três equações envolvendo u. Eliminado (se possível) o parâmetro u nestas equações, obtemos uma equação nas variáveis espaciais x, y e z chamada equação cartesiana do cone de diretriz d e vértice V .

Veja alguns exemplos nos links abaixo.

Exemplo 5

Exemplo 6

III - Reconhecimento de um cone.

         Veremos a seguir uma técnica de identificar alguns tipos especiais de cone. Ela funciona para aqueles que, mediante uma escolha adequada de um sistema de eixos cartesianos, são dados por F(x,y,z) = 0 , onde F é uma função homogênea de grau dois. Ou seja, F é da forma

(VII)                       F(x,y,z) = a*x^2+b*y^2+c*z^2+d*x*y+e*x*z+f*y*z .

Primeiro, observamos que toda superfície S: F(x,y,z) = 0 , onde F é homogênea de grau dois, é um cone com vértice na origem. De fato, dado a equação F(x,y,z) = 0 , temos que:

Segue das informações acima que S é um cone com vértice na origem.

Quando uma superfície tem equação cartesiana da forma:

(VIII)              G(x,y,z) = a*x^2+b*y^2+c*z^2+d*x*y+e*x*z+f*y*z+g*x+h*y+i*z+j .=0,

podemos tentar realizar uma translação de eixos, mudando a origem para um ponto O(x[0],y[0],z[0]) , fazendo com que os termos de primeiro grau e o termo independente na equação (VIII) se anulem. A equação resultante nas novas variáveis X = x-x[0] , Y = y-y[0] , Z = z-z[0]  será evidentemente homogênea de grau dois e representará uma superfície cônica com vértice no ponto   O(x[0],y[0],z[0]) .

Observação: Se existir uma tal translação, as coordenadas do vértice O(x[0],y[0],z[0])  serão solução do seguinte sistema:

                         G[x](x,y,z) = 2*a*x+d*y+e*z+g  = 0,

                         G[y](x,y,z) = 2*b*y+d*x+f*z+h  = 0,

                         G[z](x,y,z) = 2*c*z+e*x+f*y+i  = 0.

E, além disso, devemos ter a condição de compatibilidade G(x[0],y[0],z[0]) = 0 .

Veja alguns exemplos nos links abaixo.

Exemplo 7

Exemplo 8

IV - Equações paramétricas de um cone

          Consideremos uma curva diretriz parametrizada por alpha(u) = (alpha[1](u), alpha[2](u), alpha[3](u)) , u em J, e suponhamos que o vértice seja V = (x[0], y[0], z[0]) . Então cada reta r que compõe C tem equação

                       r : (x,y,z)=R(v)= V  + v*[alpha(u)-V] =(1- v )( x[0], y[0], z[0] )+v alpha(u)

Assim, C é parametrizada em função de dois parâmetros u e v por:

                        X(u,v) = (1- v )( x[0], y[0], z[0] )+v alpha(u)  em Jx R .

As três equações seguintes são chamadas equações paramétricas do cone C

                      x = x(u,v) = (1- v ) x[0]+v*alpha[1](u) ,

                      y = y(u,v) = (1- v ) x[0]+v*alpha[2](u) ,

                      z = z(u,v) =(1- v ) x[0]+v*alpha[3](u) .

Veja alguns exemplos nos links abaixo.

Exemplo 9

Exemplo 10

Superfícies cilindricas

Superfícies de rotação 

Superfícies