Quádricas com centro

I - Quádricas com centro de simetria.

(3)                                              M*x^2+N*y^2+P*z^2 = Q

O estudo das quádricas com centro de simetria consiste em analisar os possíveis valores que as constantes M , N , P  e Q  podem assumir. E, com isso, reduzir suas equações às chamadas formas canônicas reduzidas das quádricas.

A)  Q > 0 e nenhum dos coeficientes M, N ou P é igual a zero.

        Neste caso, dividindo a igualdade (3) por Q  e fazendo a = sqrt(abs(Q/M)) ,   b = sqrt(abs(Q/N))  e c = sqrt(abs(Q/P)) ,  podemos reescrever a equação (3) na forma:

(4)                                              alpha*x^2/(a^2)+beta*y^2/(b^2)+gamma*z^2/(c^2) = 1 ,

em que os coeficientes alpha , beta  e gamma   assumem os valores 1 ou -1. As diversas combinações de sinais podem ser agrupadas em quatro casos:

É claro que no último caso a quádrica é um conjunto vazio.  Nos outros três primeiros casos elas são chamadas, respectivamente, de elipsóide , hiperbolóide de uma folha  e hiperbolóide de duas folhas . Mais precisamente temos as seguintes definições:

Definição:  Um conjunto de pontos E   de R^3  é denominado elipsóide   se existe números a , b  e c  positivos e um sistema de eixos coordenados cartesianos ortogonais em relação ao qual E possui equação da forma:

x^2/(a^2)+y^2/(b^2)+z^2/(c^2) = 1 .

Definição:  Um conjunto de pontos H[1]   de R^3  é denominado hiperbolóide de uma folha  se existe números a , b  e c  positivos e um sistema de eixos coordenados cartesianos ortogonais em relação ao qual H[1]  possui equação da forma:

  x^2/(a^2)+y^2/(b^2)-z^2/(c^2) = 1 .

Também podemos usar, de maneira equivalente, qualquer uma das equações -x^2/(a^2)+y^2/(b^2)+z^2/(c^2) = 1  ou    x^2/(a^2)-y^2/(b^2)+z^2/(c^2) = 1   para definir um hiperbolóide de uma folha. O eixo da variável que aparece na fração precedida  pelo sinal menos (-) na equação é denominado eixo do hiperbolóide de uma folha.

Definição:  Um conjunto de pontos H[2]  de R^3   é denominado hiperbolóide de duas folhas se existe números a , b  e c  positivos e um sistema de eixos coordenados cartesianos ortogonais em relação ao qual H[2]  possui equação da forma:

-x^2/(a^2)-y^2/(b^2)+z^2/(c^2) = 1. .

Podemos usar, de maneira equivalente, uma das equações -x^2/(a^2)+y^2/(b^2)-z^2/(c^2) = 1  ou   x^2/(a^2)-y^2/(b^2)-z^2/(c^2) = 1  para definir um hiperbolóide de duas folhas. O eixo da variável que aparece na fração precedida pelo sinal mais (+) na equação é denominado eixo do hiperbolóide de duas folhas.

       Nos links abaixo fazemos a discussão das equações para obter informações que permitem esboçar o gráfico das seguintes quádricas: elipsóide, hiperbolóide de uma folha e hiperbolóide de duas folhas.

Elipsóide

Hiperbolóide de uma folha

Hiperbolóide de duas folhas

B)  Q> 0 e apenas um  dos coeficientes M, N ou P é igual a zero

        Vamos assumir P=0, os outros casos são análogos. Dividindo a igualdade (3) por Q e fazendo a = sqrt(abs(Q/M))  e   b = sqrt(abs(Q/N))  podemos reescrever a equação (3) na forma:

(5)                                              alpha*x^2/(a^2)+beta*y^2/(b^2) = 1 ,

em que alpha , beta  e gamma  assuem os valores 1 ou -1. As diversas combinações de sinais podem ser agrupadas em três casos:

É claro que no último caso a quádrica é um conjunto vazio. Nos outros dois primeiros casos elas são chamadas, respectivamente, de cilindro elíptico reto  e cilindro hiperbolóide reto . Mais precisamente temos as seguintes definições:

Definição: Um conjunto C[e]  de pontos de R^3  é denominado cilindro elíptico reto  se existe  números a  e b  positivos e um sistema de eixos coordenados cartesianos ortogonais em relação ao qual C[e]  possui equação da forma:

   x^2/(a^2)+y^2/(b^2) = 1  (P=0).

Podemos, de maneira equivalente, usar uma das seguintes equações para definir o cilindro elíptico x^2/(a^2)+z^2/(c^2) = 1  (N=0) ou y^2/(b^2)+z^2/(c^2) = 1  (M=0). O eixo da variável que não aparece na equação é denominado eixo do cilindro.

Definição: Um conjunto C[h]  de pontos de R^3  é denominado cilindro hiperbólico reto  se existe  números a  e b  positivos e um sistema de eixos coordenados cartesianos ortogonais em relação ao qual C[h]  possui equação da forma:

x^2/(a^2)-y^2/(b^2) = 1  (P=0).

Também podemos, de maneira equivalente,  usar as seguintes equações para definir o cilindro hiperbólico   x^2/(a^2)-z^2/(c^2) = 1  (N=0) ou y^2/(b^2)-z^2/(c^2) = 1  (M=0). O eixo da variável que não aparece na equação é denominado eixo do cilindro.

Observação: A discussão da equação de um cilindro permite construir o esboço da superfície representativa de sua equação, entretanto, o estudo do conceito de cilindros generalizados permite reconhecer e construir seu gráfico com mais eficiência. E, isso será feito mais tarde.

       Nos links abaixo fazemos uma discussão das equações para obter informações que permitem esboçar o gráfico das seguintes quádricas: cilindro elíptico reto e cilindro hiperbolóide reto

Cilindro elíptico reto

Cilindro hiperbólico reto

C)  Q > 0 e dois dos coeficientes M, N ou P são iguais a zero.

        Vamos assumir N=0=P , os outros casos são análogos. Assim, fazendo a = sqrt(abs(Q/M))  a equação reduz-se a:

(6)                                              alpha*x^2/(a^2) = 1 .

Neste caso,  as superfícies são dois planos paralelos ao plano yz  quando alpha = 1 ou é um conjunto vazio quando alpha = -1 .

D)  Q = 0 e nenhum dos coeficientes M, N ou P é igual a zero.

        Neste caso, dividindo a igualdade (3) por abs(P)  e fazendo a = sqrt(abs(P/M))  e b = sqrt(abs(P/N))  podemos reescrever a equação (3) na forma:,

(7)                                              alpha*x^2/(a^2)+beta*y^2/(b^2)+gamma*z^2 = 0. ,

em que alpha , beta  e gamma  assuem os valores 1 ou -1. As diversas combinações de sinas podem ser agrupadas em quatro casos:

É claro que nos dois últimos casos a quádrica se reduz à origem. Nos outros dois primeiros elas são cones elípticos  com vértice na origem. Mais precisamente temos as seguintes definições:

Definição: Um conjunto K  de pontos de R^3  é denominado cone elíptico reto  se existe  números a  e b  positivos e um sistema de eixos coordenados cartesianos ortogonais em relação ao qual K  possui equação da forma:

x^2/(a^2)+y^2/(b^2) = z^2 .

Também podemos, de maneira equivalente, usar uma das equações x^2/(a^2)+z^2/(c^2) = y^2  ou y^2/(b^2)+z^2/(c^2) = x^2  para definir um cone elíptico.

Observação: Como no caso do cilindro, discussão da equação de um cone permite construir o esboço da superfície representativa de sua equação, entretanto, o estudo do conceito de cones generalizados permite reconhecer e construir seu gráfico com mais eficiência. E, isso será feito mais tarde.

       No link abaixo fazemos uma discussão da equação de um cone elíptico para obter informações que permitem esboçar seu gráfico.

Cone elíptico de duas folhas

E)  Q = 0 e alguns dos coeficientes M, N ou P são iguais a zero.

       Nestes casos, uma rápida análise das equações resultantes permite concluir que as superfícies serão retas ou planos.

Quádricas sem centro de simetria.

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