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Cálculo Vetorial: Produto interno, Produto Vetorial e Regras de derivação

        Para acompanharmos uma partícula movendo-se no espaço traçamos um vetor r da origem à partícula, e estudamos a variação em r. Se as coordenadas do vetor posição são funções do tempo t,duas vezes diferenciáveis, então r' e r'' também são e podemos encontrar os vetores velocidade e aceleração da partícula em qualquer instante, derivando r com relação a t. Inversamente, se conhecemos o vetor velocidade ou vetor aceleração como uma função contínua do tempo e se temos informações suficientes sobre a velocidade inicial e a posição da partícula, podemos encontrar r como uma função do tempo por integração.

Além disso, o estudo dos produtos interno e vetorial dessas funções vetoriais fornece interpretações geométricas importantes para dedução das leis de Kepler.

A seguir faremos um breve comentário sobre o produto interno, o produto vetorial e sobre as regras de derivação de funções vetoriais e de produtos de funções vetoriais.

Dados os vetores MATH e MATH em $\QTR{Bbb}{R}^{3}$ a igualdade

MATH

define o produto interno canônico em $\QTR{Bbb}{R}^{3}$ . Sendo um produto interno ele goza das seguintes propriedades:

  1. MATH MATH

  2. MATH MATH e MATH

  3. MATH MATH

  4. MATH e MATH

Associada a esse produto interno temos a norma euclidiana de um vetor $\overrightarrow{u}$ em $\QTR{Bbb}{R}^{3}$ :
MATH
Segue diretamente das propriedades do produto interno a seguinte relação:
MATH
(3)
Agora, aplicando a lei dos cossenos ao triângulo determinado pelos vetores   $\overrightarrow{u}$ e  $\overrightarrow{v}$ obtemos
Figura 5: Lei dos cossenos
\includegraphics[
height=1.6241in,
width=3.998in
]{Figuras/Lei-Cosenos.eps}
MATH (4)
onde $\theta$ é o ângulo entre os vetores   $\overrightarrow{u}$ e  $\overrightarrow{v}$ . Das igualdades (3) e (4) segue-se a forma geométrica do produto interno:
MATH (5)

Dados os vetores  MATH e  MATH associamos a eles um terceiro vetor, perpendicular a ambos os vetores e chamado produto vetorial dos vetores   $\overrightarrow{u}$ e  $\overrightarrow{v}$ , dado por

MATH

onde,  MATH são os vetores da base canônica de  $\QTR{Bbb}{R}^{3}$ . Esse produto pode ser calculado usando o determinante:

MATH

(6)
Usando as propriedades do determinante concluímos que o produto vetorial possui as propriedades:
  1. MATH MATH

  2. MATH MATH e MATH

  3. MATH MATH

  4. MATH se, e somente se, $\overrightarrow{u}$ e $\overrightarrow{v}$ forem linearmente dependentes. Isto é, existe $\lambda$ com MATH

Além disso, um cálculo direto (usando as coordenadas dos vetores) fornece a chamada identidade de Lagrange
MATH (7)

Proposição 4.1   Se   $\overrightarrow{u}$ e  $\overrightarrow{v}$ são vetores linearmente independentes, então  MATH é uma base ordenada de  $\QTR{Bbb}{R}^{3}$ , onde  MATH é perpendicular a ambos os vetores   $\overrightarrow{u}$ e  $\overrightarrow{v}$ . Além disso,  MATH é numericamente igual à área do paralelogramo determinado pelos vetores   $\overrightarrow{u}$ e  $\overrightarrow{v}$ .
Demonstração. A igualdade (6) mostra que o vetor  MATH é perpendicular a ambos os vetores linearmente independentes   $\overrightarrow{u}$ e  $\overrightarrow{v}$ . Assim,  MATH é um conjunto linearmente independente e, portanto, uma base de  $\QTR{Bbb}{R}^{3}$ . Da identidade do paralelogramo (7) obtemos
MATH
onde $\theta$  MATH é o ângulos entre os vetores   $\overrightarrow{u}$ e  $\overrightarrow{v}$ . Portanto,
MATH (8)

Dessa expressão e da forma para área do paralelogramo concluímos que  MATH é numericamente igual à área do paralelogramo determinado pelos vetores   $\overrightarrow{u}$ e  $\overrightarrow{v}$ . $ \qedsymbol$

Sejam  MATH uma função vetorial com funções coordenadas deriváveis MATH , MATH , MATH uma função vetorial com funções coordenadas deriváveis MATH , MATH , C um vetor constante e  f qualquer função escalar derivável em I . Usando as regras de derivação de produtos de funções escalares e as definições acima obtemos as seguintes regras de derivação:

  1. Regra da soma e diferença:

    MATH
  2. Regra do produto por um escalar:

    MATH

    Em particular, se $f\equiv C$ temos MATH

  3. Regra do produto interno:

    MATH
  4. Regra do produto vetorial:

    MATH
  5. Derivada da norma de uma função vetorial MATH :

    MATH

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Jocelino Sato 2005-11-09